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数据结构-二分搜索树

二叉树:顾名思义就是每个节点都只能有两个子节点的树结构

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class TreeNode {
int val;
TreeNode left;
TreeNode right;
}

二分搜索树

  • 二分搜索树也是二叉树
  • 二分搜索树的每个节点的值:
    • 大于其左子树的所有节点的值
    • 小于其右子树的所有节点的值
  • 每一棵子树也是二分搜索树
  • 存储的元素必须有可比性

创建二分搜索树

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public class BST<E extends Comparable<E>> {

private class Node {
public E e;
public Node left, right;

public Node(E e) {
this.e = e;
left = null;
right = null;
}
}

private Node root;
private int size;

public BST(){
root = null;
size = 0;
}

public int size(){
return size;
}

public boolean isEmpty(){
return size == 0;
}
}

添加元素

向以node为根的二叉树中添加元素, 如果比node中的元素小,就去node的左子树中去比较

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// 向二分搜索树中添加新的元素e
public void add(E e) {
root = add(root, e);
}

// 向以node为根的二分搜索树中插入元素e,递归算法
// 返回插入新节点后二分搜索树的根
private Node add(Node node, E e) {
if (node == null) {
size++;
return new Node(e);
}

if (e.compareTo(node.e) < 0)
node.left = add(node.left, e);
else if (e.compareTo(node.e) > 0)
node.right = add(node.right, e);

return node;
}

查询元素

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// 看二分搜索树中是否包含元素e
public boolean contains(E e) {
return contains(root, e);
}

// 看以node为根的二分搜索树中是否包含元素e, 递归算法
private boolean contains(Node node, E e) {

if (node == null)
return false;

if (e.compareTo(node.e) == 0)
return true;
else if (e.compareTo(node.e) < 0)
return contains(node.left, e);
else // e.compareTo(node.e) > 0
return contains(node.right, e);
}

二分搜索树的递归遍历

先序遍历

根节点在前就是先序遍历

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// 二分搜索树的前序遍历
public void preOrder(){
preOrder(root);
}

// 前序遍历以node为根的二分搜索树, 递归算法
private void preOrder(Node node){
if(node == null)
return;

System.out.println(node.e);
preOrder(node.left);
preOrder(node.right);
}

@Override
public String toString(){
StringBuilder res = new StringBuilder();
generateBSTString(root, 0, res);
return res.toString();
}

// 生成以node为根节点,深度为depth的描述二叉树的字符串
private void generateBSTString(Node node, int depth, StringBuilder res){

if(node == null){
res.append(generateDepthString(depth) + "null\n");
return;
}

res.append(generateDepthString(depth) + node.e + "\n");
generateBSTString(node.left, depth + 1, res);
generateBSTString(node.right, depth + 1, res);
}

private String generateDepthString(int depth){
StringBuilder res = new StringBuilder();
for(int i = 0 ; i < depth ; i ++)
res.append("--");
return res.toString();
}

中序遍历

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// 二分搜索树的中序遍历
public void inOrder() {
inOrder(root);
}

// 中序遍历以node为根的二分搜索树, 递归算法
private void inOrder(Node node) {
if (node == null)
return;

inOrder(node.left);
System.out.println(node.e);
inOrder(node.right);
}

后序遍历

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// 二分搜索树的后序遍历
public void postOrder() {
postOrder(root);
}

// 后序遍历以node为根的二分搜索树, 递归算法
private void postOrder(Node node) {
if (node == null)
return;

postOrder(node.left);
postOrder(node.right);
System.out.println(node.e);
}

遍历的非递归实现

借助栈的功能来实现非递归遍历

前序遍历

先将根节点压入栈
1.若栈非空输出根节点,并出栈
2.将右节点压栈(如果存在)
3.将左节点压栈(如果存在)
4.重复第1步直到栈空

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// 二分搜索树的非递归前序遍历
public List<E> preOrderNR(){

List<E> es = new ArrayList<>();
if(root == null)
return es;

Stack<Node> stack = new Stack<>();
stack.push(root);
while(!stack.isEmpty()){
Node cur = stack.pop();
es.add(cur.e);

if(cur.right != null)
stack.push(cur.right);
if(cur.left != null)
stack.push(cur.left);
}
return es;
}

中序遍历

栈的中序遍历需要套两层循环,由于需要先输出左节点,因此必须向下查找直到左节点为空才能输出.处理逻辑如下:

1、如果栈顶元素非空且左节点存在,将其入栈,重复该过程.若不存在则进入第2步
2、若栈非空,输出栈顶元素并出栈.判断刚出栈的元素的右节点是否存在,不存在重复第2步,存在则将右节点入栈,跳至第1步

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// 二分搜索树的非递归中序遍历
public List<E> inOrderNR(){
List<E> es = new ArrayList<>();
if(root == null)
return es;

Stack<Node> stack = new Stack<>();
stack.push(root);
while(!stack.isEmpty()) {
while (stack.peek().left != null) {
stack.push(stack.peek().left);
}

while (!stack.empty()) {
Node cur = stack.pop();
es.add(cur.e);
if (cur.right != null) {
stack.push(cur.right);
break;
}
}
}
return es;
}
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public class Main {

public static void main(String[] args) {

BST<Integer> bst = new BST<>();
int[] nums = {20, 10, 25, 5, 15, 23, 27, 7, 22, 24, 6, 8, 9};
for(int num: nums)
bst.add(num);

//bst.preOrder();
//System.out.println(bst.preOrderNR());
//bst.inOrder();
System.out.println(bst.inOrderNR());
}
}

[5, 6, 7, 8, 9, 10, 15, 20, 22, 23, 24, 25, 27]

后序遍历

后序遍历在中序的双层循环的基础上需要加入一个记录,专门记录上一次出栈的节点.步骤如下:
1、如果栈顶元素非空且左节点存在,将其入栈,重复该过程.若不存在则进入第2步(该过程和中序遍历一致)
2、判断上一次出栈节点是否当前节点的右节点,或者当前节点是否存在右节点,满足任一条件,将当前节点输出,并出栈.否则将右节点压栈.跳至第1步

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    public List<E> postOrderNR(){
LinkedList<E> es = new LinkedList<>();
Stack<Node> stack = new Stack<>();
if (root == null) return es;

stack.push(root);
Node lastpop = null;

while (!stack.isEmpty()){
while(stack.peek().left != null){
stack.push(stack.peek().left);
}

// 当前节点没有左子树, 看其右子树是否存在或者是否是上次访问过的节点
while (!stack.isEmpty()){
if (lastpop == stack.peek().right || stack.peek().right == null){
Node cur = stack.pop();
es.add(cur.e);
lastpop = cur;
}
else if(stack.peek().right != null){
stack.push(stack.peek().right);
break;
}
}
}
return es;
}

[6, 9, 8, 7, 5, 15, 10, 22, 24, 23, 27, 25, 20]

根据后序遍历的特性: 左 右 中, 先将根节点入栈,
1.将根节点出栈, 放在链表的头部
2.出栈的节点有左节点将左节点入栈
3.出栈的节点有右节点将右节点入栈
4.栈不为空,重复1~3

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    public List<E> postOrderNR() {
LinkedList<E> ans = new LinkedList<>();
Stack<Node> stack = new Stack<>();
if (root == null) return ans;

stack.push(root);
while (!stack.isEmpty()) {
Node cur = stack.pop();
ans.addFirst(cur.e);
if (cur.left != null) {
stack.push(cur.left);
}
if (cur.right != null) {
stack.push(cur.right);
}
}
return ans;
}

[6, 9, 8, 7, 5, 15, 10, 22, 24, 23, 27, 25, 20]

层序遍历

借助队列先进先出的特性, 可以很轻松的实现树的层序遍历

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    // 二分搜索树的层序遍历
public List<E> levelOrder() {

Queue<Node> q = new LinkedList<>();
ArrayList<E> es = new ArrayList<>();
if (root == null)
return es;

q.add(root);
while (!q.isEmpty()) {
Node cur = q.remove();

es.add(cur.e);

if (cur.left != null)
q.add(cur.left);
if (cur.right != null)
q.add(cur.right);
}
return es;
}

[20, 10, 25, 5, 15, 23, 27, 7, 22, 24, 6, 8, 9]

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    public List<List<E>> levelOrder() {
List<List<E>> res = new ArrayList<>();
Deque<Node> queue = new LinkedList<>();

if (root == null)
return res;

queue.addFirst(root);
while (!queue.isEmpty()) {
List<E> list = new ArrayList<>();
int n = queue.size();
for (int i = 0; i < n; i++) {
Node t = queue.removeLast();
list.add(t.e);
if (t.left != null)
queue.addFirst(t.left);
if (t.right != null)
queue.addFirst(t.right);
}
if (!list.isEmpty())
res.add(list);
}
return res;
}

[[20], [10, 25], [5, 15, 23, 27], [7, 22, 24], [6, 8], [9]]

最大值和最小值

根据二分搜索树的特性, 很容易知道沿着根节点往左走是最小值, 往右走是最大值

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// 寻找二分搜索树的最小元素
public E minimum(){
if(size == 0)
throw new IllegalArgumentException("BST is empty");

Node minNode = minimum(root);
return minNode.e;
}

// 返回以node为根的二分搜索树的最小值所在的节点
private Node minimum(Node node){
if( node.left == null )
return node;

return minimum(node.left);
}

// 寻找二分搜索树的最大元素
public E maximum(){
if(size == 0)
throw new IllegalArgumentException("BST is empty");

return maximum(root).e;
}

// 返回以node为根的二分搜索树的最大值所在的节点
private Node maximum(Node node){
if( node.right == null )
return node;

return maximum(node.right);
}

删除最大值,最小值

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// 删除掉以node为根的二分搜索树中的最小节点
// 返回删除节点后新的二分搜索树的根
private Node removeMin(Node node){

if(node.left == null){
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size --;
return rightNode;
}

node.left = removeMin(node.left);
return node;
}

// 删除掉以node为根的二分搜索树中的最大节点
// 返回删除节点后新的二分搜索树的根
private Node removeMax(Node node){

if(node.right == null){
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size --;
return leftNode;
}

node.right = removeMax(node.right);
return node;
}

删除任意节点

二叉树节点的删除
先找到要删除节点所在的位置,判断左右子树的情况
如果左右子树都不存在,将其直接删除
如果存在单一子树,修改指针后将其删除即可
如果左、右子树都存在,则将其左子树的最大值复制为将删除的节点,并将最大值删除即可(右子树的最小值也可以)

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// 从二分搜索树中删除元素为e的节点
public void remove(E e) {
root = remove(root, e);
}

// 删除掉以node为根的二分搜索树中值为e的节点, 递归算法
// 返回删除节点后新的二分搜索树的根
private Node remove(Node node, E e) {

if (node == null)
return null;

if (e.compareTo(node.e) < 0) {
node.left = remove(node.left, e);
return node;
} else if (e.compareTo(node.e) > 0) {
node.right = remove(node.right, e);
return node;
} else { // e.compareTo(node.e) == 0

// 待删除节点左子树为空的情况
if (node.left == null) {
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size--;
return rightNode;
}

// 待删除节点右子树为空的情况
if (node.right == null) {
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size--;
return leftNode;
}

// 待删除节点左右子树均不为空的情况

// 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点
// 用这个节点顶替待删除节点的位置
Node successor = minimum(node.right);
successor.right = removeMin(node.right);
successor.left = node.left;

node.left = node.right = null;

return successor;
}
}

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