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数据结构-AVL树

平衡二叉树(Balanced Binary Tree), 且具有以下性质:

  • 它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1,
  • 左右两个子树都是一棵平衡二叉树.

这个方案很好的解决了二分搜索树退化成链表的问题,把插入,查找,删除的时间复杂度最好情况和最坏情况都维持在O(logN).

AVL和非AVL

平衡二叉树的概念

为什么需要平衡二叉树?

通过前面的 二分搜索树(Binary Search Tree), 二分搜索树的性能跟树的高度(h)有关系,
最好的情况下(满二叉树)复杂度是O(logn);
而最坏的情况下(退化成链表)复杂度是O(n)

二分搜索树的最好情况的O(log n)和 最坏情况的O(n) 是个什么概念呢?下面用一个表格对比下:

对比下 n 和 log(n) 之间的差距

nlog(n)差距
1644 倍
102410100倍
100w205万倍

随着数量不断的加大,它们之间性能的差距不断的两极分化.

这个时候就需要一个能够平衡的二分搜索树,就算在最坏的情况也能保证二分搜索树的性能保持在 O(log n)

那么什么是平衡二叉树,平衡二叉树 也称 平衡二分搜索树(Balanced Binary Tree)是一种结构平衡的二分搜索树.

平衡二叉树由二分搜索树发展而来,在二分搜索树的基础上平衡二叉树需要满足两个条件:

  1. 它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1
  2. 左右两个子树都是一棵平衡二叉树

常见的平衡二叉搜索树有:

AVL树
红黑树
Treap
下面我们介绍下出现最早的平衡二叉树 AVL树.

AVL树

AVL树 是由 G. M. Adelson- V elsky 和 E. M. Landis于1962年提出.AVL树是最早的平衡二叉树.

AVL树维护自身的平衡涉及到两个概念:

  1. 节点的高度
  2. 节点的平衡因子

节点的高度就是从根节点到该节点的边的总和

节点的平衡因子是左子树的高度减去它的右子树的高度

带有平衡因子10-1的节点被认为是平衡的,因为它的左右子树高度差不超过1

平衡二叉树大部分操作和二叉查找树类似,主要不同在于插入删除的时候平衡二叉树的平衡可能被改变,并且只有从那些插入点到根结点的路径上的结点的平衡性可能被改变,因为只有这些结点的子树可能变化.

不平衡的情况及调整

LL , LR, RR, RL
参考:
http://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3577479.html

https://blog.csdn.net/johnny901114/article/details/80740418

LL

对不平衡的节点向右旋转

LL右旋转

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// 对节点y进行向右旋转操作,返回旋转后新的根节点x
// y x
// / \ / \
// x T4 向右旋转 (y) z y
// / \ - - - - - - - -> / \ / \
// z T3 T1 T2 T3 T4
// / \
// T1 T2
private Node rightRotate(Node y) {
Node x = y.left;
Node T3 = x.right;

// 向右旋转过程
x.right = y;
y.left = T3;

// 更新height
y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1;

//返回的是一棵平衡二叉树的根
return x;
}

RR

RR和LL刚好形成镜像, 它需要对不平衡的节点向左旋转

RR左旋转

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// 对节点y进行向左旋转操作,返回旋转后新的根节点x
// y x
// / \ / \
// T1 x 向左旋转 (y) y z
// / \ - - - - - - - -> / \ / \
// T2 z T1 T2 T3 T4
// / \
// T3 T4
private Node leftRotate(Node y) {
Node x = y.right;
Node T2 = x.left;

// 向左旋转过程
x.left = y;
y.right = T2;

// 更新height
y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1;

return x;
}

LR

LR先左旋再右旋

RL

RL先右旋再左旋

插入操作

插入时会造成树的不平衡

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// 获得节点node的平衡因子
private int getBalanceFactor(Node node){
if(node == null)
return 0;
return getHeight(node.left) - getHeight(node.right);
}

// 向二分搜索树中添加新的元素(key, value)
public void add(K key, V value){
root = add(root, key, value);
}

// 向以node为根的二分搜索树中插入元素(key, value),递归算法
// 返回插入新节点后二分搜索树的根
private Node add(Node node, K key, V value){

if(node == null){
size ++;
return new Node(key, value);
}

if(key.compareTo(node.key) < 0)
node.left = add(node.left, key, value);
else if(key.compareTo(node.key) > 0)
node.right = add(node.right, key, value);
else // key.compareTo(node.key) == 0
node.value = value;

// 更新height
node.height = 1 + Math.max(getHeight(node.left), getHeight(node.right));

// 计算平衡因子
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);

// 平衡维护
// LL
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0)
return rightRotate(node);

// RR
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) <= 0)
return leftRotate(node);

// LR
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) < 0) {
node.left = leftRotate(node.left);
return rightRotate(node);
}

// RL
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) > 0) {
node.right = rightRotate(node.right);
return leftRotate(node);
}

return node;
}

删除操作

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// 返回以node为根的二分搜索树的最小值所在的节点
private Node minimum(Node node){
if(node.left == null)
return node;
return minimum(node.left);
}

// 从二分搜索树中删除键为key的节点
public V remove(K key){

Node node = getNode(root, key);
if(node != null){
root = remove(root, key);
return node.value;
}
return null;
}

private Node remove(Node node, K key){

if( node == null )
return null;

Node retNode;
if( key.compareTo(node.key) < 0 ){
node.left = remove(node.left , key);
// return node;
retNode = node;
}
else if(key.compareTo(node.key) > 0 ){
node.right = remove(node.right, key);
// return node;
retNode = node;
}
else{ // key.compareTo(node.key) == 0

// 待删除节点左子树为空的情况
if(node.left == null){
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size --;
// return rightNode;
retNode = rightNode;
}

// 待删除节点右子树为空的情况
else if(node.right == null){
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size --;
// return leftNode;
retNode = leftNode;
}

// 待删除节点左右子树均不为空的情况
else{
// 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点
// 用这个节点顶替待删除节点的位置
Node successor = minimum(node.right);
//successor.right = removeMin(node.right);
successor.right = remove(node.right, successor.key);
successor.left = node.left;

node.left = node.right = null;

// return successor;
retNode = successor;
}
}

if(retNode == null)
return null;

// 更新height
retNode.height = 1 + Math.max(getHeight(retNode.left), getHeight(retNode.right));

// 计算平衡因子
int balanceFactor = getBalanceFactor(retNode);

// 平衡维护
// LL
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) >= 0)
return rightRotate(retNode);

// RR
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) <= 0)
return leftRotate(retNode);

// LR
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) < 0) {
retNode.left = leftRotate(retNode.left);
return rightRotate(retNode);
}

// RL
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) > 0) {
retNode.right = rightRotate(retNode.right);
return leftRotate(retNode);
}

return retNode;
}

完整代码

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